2015年考研数学二重积分备考要点

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2015年考研数学二重积分备考要点

二重积分这部分主要考察两种题型，一种是二重积分的计算，包括直角坐标和极坐标.另外一种是二重积分交换积分次序，只要把二重积分的计算方法弄明白了，交换积分次序其实是二重积分计算的问题.本部分数二、三历年会考一个答题，有的时候，还会考察一个小题，数一的考答题的频率不是那么大，但是二重积分的计算是后面三重积分，曲线、曲面积分的一个重要过程，偶尔会涉及二重积分的应用会，例如求形心坐标等,所以要重点掌握.
现在就二重积分的计算方法总结如下：
一、常规手段
在直角坐标下计算二重积分的条件、方法.
若积分区域 为 型区域，将区域 向 轴投影，得 ，再对任一 ，作平行于 轴的直线，交 的边界于 ，得 ，则
.
若积分区域 为 型区域，将区域 向 轴投影，得 ，再对任一 ，作平行于 轴的直线，交 的边界于 ，得 ，则
.
我们把直角坐标系中确定积分限的方法形象地称为“投影找区间，穿刺找线段”.

二、技术性手段
                对称性
                极坐标变换
技术性手段      换序
                性质（比较定理、中值定理等）
                区域相加减（ 等）
1.对称性：分为普通对称性和轮转对称性.
（1）若积分域 关于 轴对称,则看被积函数 关于 的奇偶性:

（2）若积分域 关于 轴对称,则看被积函数 关于 的奇偶性：

（3）若积分区域 关于原点对称，则看被积函数 关于 和 的对称性（即 ，则 关于 为偶函数， ，则 关于 为奇函数）：
     
（4）轮转对称性：
若 关于 对称, 则

【例1】计算 ，其中 由曲线 所围成.
【解析】分析：利用奇偶性
因为 是关于 的奇函数， 关于 轴对称，所以
原式=         
（利用了两次奇偶性，其中 为 在第一象限的部分）

2.极坐标变换:
         适用条件是i) 被积函数: ii)积分区域:圆或圆环.
         两条都满足最好，如果只满足一条，也可以先尝试用一下极坐标变换.
设 ，极坐标系下的积分顺序一般是先 后 .
【例2】设区域 为 ,则 = .
【解析】分析：满足第ii)条，利用极坐标变换
.
3.换序：先根据积分限画出积分区域，再按另一次序确定积分限：“投影找区间，穿刺找线段”
【例3】交换积分次序，        .
【解析】原式=
4.性质：比较定理、估值定理、积分中值定理等.
【例4】设 是定义在 上的连续函数, ,求极限 .
【解析】交换积分次序得

       （应用罗必达法则）
          （ ，这里应用了积分中值定理）
.
5.区域相加减
【例5】计算 ,其中 是由 ,以及曲线  所围成.
【解析】此题可以直接按直角坐标来解,但我们这里用区域相加减的解法
     （ 是正方形区域， 是半圆区域）

wjj2005

楼主你懂得。。